Deber: grupo # 24 del libro de Lehmann

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz Alarcón
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	10/12/2015
Docente:	Ing. Manuel Fiallos
Tarea:	Ejercicios-grupo #24 del Libro de Lehmann

Ejercicio 8: Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3,3) y (3,1), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Datos:
V (3,3)

F (3,1)

Proceso:

(x-b)^2= 4p(y-k)

V(3,3)                             h=k= 3

p=(VF) ̅=1-3= -2

Ecuación de la recta (X-3)^2= -8(Y-3)       

Y=K-p    

              

Ec.de la directriz L  y= 5    

Lado recto |LR|= 4(-2)= 8

Ejercicio 9: La directriz de un parabola es la recta y-1=0, y su foco es el punto (4,-3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes.

Datos:

Directriz de un parabola es la recta y-1=0

F (4,-3)

Proceso:

(x-h)^2= 4p(y-k)           F(h.k+p)= F(4,-3)

 h=4 

    

{k+p= -3 

{k-p= 1

   

 k-p= 1

2k= -2     K=-2/2= -1

-1+p=-3   p=-3+1=2 

      

L:y= k-p  

    

Ec.de la parábola (x-4)^2= -8(y+1) 

   

P(x,y) |(PP) ̅ |= d(P,L ̅ )  √(x-4)^2+(y+3)^2= |y-1|  

(x-4)^2= -8(y+1)   

Ejercicio 10: La directriz de una parábola es la recta x+5=0, y su vértice es el punto (0,3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes. 

Datos:

Directriz de la parábola es la recta x+5=0

V (0,3)

Proceso:

L:x+5=0 

  

(y-k)^2 =4p(x-h)          V (0,3)

h=0   k=3 

L:x=h-p

{h-p= -5

{0-p= -5 

-2p= -10    p= -10/(-2)= 5 

     

(y-3)^2 =20(x-0)

 2do método          

(y-3)²= 20(x)

y²-6y+9= 20x

20x-y²+6y-9= 0

En cada uno de los ejercicios 11-15, redúzcase la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.

Ejercicio 11: 

          4y^2-48x-20y=71  

         4(y^2-5y+25/4)= 48x+71+25    (y-5/2)^2= 12(x+2)

         h=-2          k=5/2    4p=12           P=3 

a) Coordenadas del vértice: V (h,k)=V(-2,5/2) 

 b) Foco: F(h+p,k)= F(1, 5/2)

c) Directris L: x= -5  

d) Ecuación del eje:  y= k    y= 5/2  

e) d de lado recto LR: |4p|= 4(3)= 12

Ejercicio 12: 

9x^2+24x+72y+16= 0 

   

9(x^2+8/3 x+16/9)= -72y-16+16 (x+4/3)^2= -8(y-0)  

h= -4/3        k= 0    4p= -8      p= -8/4= -2   

a) Vértice: V (h,k)= V (-4/3,0)                                   b) Foco: F (h,k+p)= F (-4/3,-2)  

c) Directris L: y= k-p   y= -2                                      d) Ecuación del eje  x= h    x= -4/3   

e) Longitud del lado recto LR= |4p|= 4(-2)= -8

                                            

Ejercicio13: 

 Y^2+4x =7 

 y^2= 7-4x          (y+0)^2= -4(x+7/4)   

  

h= -7/4        k= 0      4p= -4      p= -4/4= -1  

a) Vértice: V (-7/4,0)                                                    b) Foco: F (h+p,k)= F (-7/4,-1)  

c) Directris L: x= -7/4 -1= -11/4                                   d) Ecuación del eje  y= k    y= 0            

e) Longitud del lado recto LR= |4p|= 4(-1)= 4

Ejercicio 14:

44x^2+48y+12x= 159

            

44(x^2+3/11)= -48(y-53/16)     k= 53/16    h= -3/11      p= -12/11

a) Vértice: V (-3/11,53/16)                                             b)Foco: F (h,k+p)   F (-3/11,-775/176) 

  

c) Directriz  L:y= 2(53/16)+775/176= 11.02       y+1941/176= 0

d) Ecuación del eje x= h x= -3/11                                  e)Longitud del lado recto LR= |4p|= 4(-3/4)= 3        

Ejercicio 24: Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0. 0). (8. - 4) y (3. 1).

Datos:

P1 (0,0)

P2 (8,-4)

P3 (3,1)


Proceso:

(y-k)^2= 4F(x-h)       

{1. k^2             = -4Fh

{2. k^2+8k+16= 32F-4Fh

{3. k^2-2k+1  = 12F-4Fh         

{1. k^2             = -4Fh              (-1)

{2. k^2+8k+16= 32F-4Fh      

 1.) -K^2-4Fh= 0 

 2.)  k^2+4Fh+8k+16-32F= 0  

1.2.) 8k+16-32F= 0   

 {2. k^2+8k+16= 32F-4Fh 

 {3. k^2-2k+1=    12F-4Fh

 2.3.) -10k-15+20F= 0         

{1.2.  8k+16-32F=  0               (10)  

{2.3. -10k-15+20F=0               (8)          

1.2.)  80k+160-320F= 0  

2.3.) -80k-120+160F= 0   

1.2.) -2.3  40-160F= 0  F= -40/(-160)= 1/4   

1.2.)  8k+16-32F=0    

8k= -16+32(1/4)     k= -8/8= -1   

1.)  k^2+4Fh =-(-1)^2/4(1/4)= -1   h= -1    

(y+1)^2= (x+1)           y^2+2y-x= 0

Ejercicio 25: Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (4,-1), eje la recta y+1=0 y que pasa por el punto (3,-3).

Datos:

Vértice el punto (4, -1)

Eje de la recta  y+1=0

P1 (3,-3)      

Proceso:

(y+1)^2= 4p(x-4)       

(-3+1)^2= 4p(3-4)     

4=12p-16p  

4= -4p  

p= 4/(-4)  

p= -1        

(y+1)^2= -4(x-4)

Ejercicio 26: Demostrar, analíticamente que cualquier recta paralela al eje de una parábola corta a ésta en uno y solamente en un punto.

Proceso:

y= c    y^2= 4Fx     c^2= 4Fx     x= c^2/4F     P(c, c^2 /4F)      

p= 20      V(0,0)   F(0,5)  

y-5= 0     x= 5^2/20= 5/4        P(5,5/4)         

y= 8         x= 8^2/20= 16/5     P1(8,16/5)   

y= 23   x= 23^2/20= 529/20      P2(23,529/20)          

(x-0)^2= 20(y-0)