Deber: grupo # 27 del libro de Lehmann

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz Alarcón
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	18/12/2015
Docente:	Ing. Manuel Fiallos
Tarea:	Ejercicios-grupo #27 del Libro de Lehmann

En cada uno de los ejercicios 6-9, hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. Trazar y discutir el lugar geométrico.

Ejercicio 6: 9x^2+4y^2=36.

Ec. de la elipse= 9x2+ 4y2 = 36 

x^2/(36⁄9)+y^2/(36⁄4)=36/36

Ec. simétrica=  x²/4+  y²/9=1

a2 = 4                a = 2 c2 = a2 - b2

b2 = 9             b = 3 c2 = 4 – 9

c 2 = 5                c = √5        c2 = -5

Excentricidad=     e = c/a     e = (√5)/2        e = 1.11

Lado recto=   |LR| = 2b²/a

                      |Lr| = (2 (9))/2

                      |Lr| = 18/2→ 9

Coordenadas del vértice= V1 (2,0)  V2 (0,2)

Coordenadas del foco= F1 (√5, 0) F2 (0, √5)

Eje mayor=     2a         Eje menor=    2b

Eje mayor=    2(2) = 4 Eje menor=    2(3)= 6

Ejercicio 7: 4x^2+9y^2=36.

Ec. de la elipse= 4x2+ 9y2 = 36 

x^2/(36⁄4)+y^2/(36⁄9)=36/36

Ec. simétrica=  x²/9+  y²/4=1

a2 = 9                a = 3 c2 = a2 - b2

b2 = 4                b = 2 c2 = 9 – 4

c 2 = 5                c = √5        c2 = 5

Excentricidad=       e = c/a     e = (√5)/3        e = 0,74

Lado recto=   |LR| = 2b²/a

                       |Lr| = (2 (4))/3

                       |Lr| = 8/3

Coordenadas del vértice=  V1 (3,0)  V2 (0,3)

Coordenadas del foco=       F1 (√5, 0) F2 (0, √5)

Eje mayor=     2a         Eje menor=    2b

Eje mayor=    2(3) = 6 Eje menor=    2(2)= 4

Ejercicio 8: 16x^2+25y^2=400.

x²/(400⁄16)+  y²/(400⁄25)=400/400

x²/25+  y²/16=1

a2 = 25       a = 5 c2 = a2 - b2

b2 = 16         b = 4 c2 = 25 – 16

c 2 = 9         c = 3         c2 = 9

Excentricidad=   e = c/a e = 3/5              e= 0,6

Lado recto:    |LR| = 2b²/a

                       |Lr| = (2 (16))/5

                       |Lr| = 32/5

Coordenadas del vértice= V1 (3,0)  V2 (0,3)

Coordenadas del foco=  F1 (√5, 0)   F2 (0, √5)

Eje mayor=    2a Eje menor=    2b

Eje mayor=    2(5) = 10 Eje menor=   2(4)= 8

Ejercicio 9: x^2+3y^2=6.

x²/6+  y²/(6⁄3)=6/6

x²/6+  y²/2=1

a2 = 6          a = 5 c2 = a2 - b2

b2 = 2          b = 4 c2 = 6 – 2

c 2 = 4          c = 2 c2 = 4

Excentricidad=     e = c/a e = 2/5   e= 0,4

Lado recto=    |LR| = 2b²/a

                       |Lr| = (2 (2))/5

                       |Lr| = 4/5

Coordenadas del vértice= V1 (3,0)  V2 (0,3)

Coordenadas del foco=  F1 (√5, 0) F2 (0, √5)

Eje mayor=    2a Eje menor=   2b

Eje mayor=   2(5) = 10 Eje menor=    2(4)= 8

Ejercicio 10: Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4, 0),      (-4, 0), y cuyos focos son los puntos (3, 0), (-3, 0).

Datos:

Vértices: (4, 0), (-4, 0)

Focos: (3, 0), (-3, 0)

a= 4 a2 = c2 + b2 e= c/a

c= 3 b2 = a2 - c2 e= 3/4

                                b2 = 16 – 9                 e= 0,75 < 1

                                b = √7

Ec. de la elipse:

x²/a²+  y²/b²

x^2/16+  y^2/7=1

Ejercicio 11: Los vértices de una elipse son los puntos (0, 6), (0, -6), y sus focos son los puntos  (0, 4), (0, -4). Hallar su ecuación. 

 Datos:

Vértices: (0, 6), (0, -6)

Focos: (0, 4), (0, -4)

a= 6  a2 = c2 + b2 e= c/a

c= 4         b2 = a2 - c2 e= 4/6

                                 b2 = 36 – 16         e= 0, 66< 1

                                 b2 = 20

Ec. de la elipse:

x²/a²+  y²/b²=1

x^2/20+  y^2/36=1

                                                                                

                                      

Ejercicio 12: Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2, 0), (-2,0), y su excentricidad es igual a 2⁄3 

Datos:

Puntos: (2, 0)

              (-2,0)

a= 3  b2 = a2 - c2              e= c/a

c= 2 b2 = 9 – 4                 e = 2/3

b2 = 5                       e= 0,66 < 1           

Ec. de la elipse:

x²/a²+  y²/b²=1

x^2/9+  y^2/5=1

Ejercicio 13: Los focos de una elipse son los puntos (3, 0), (-3, 0), y la longitud de uno cualquiera de sus lados rectos es igual a 9. Hallar la ecuación de la elipse.

Datos: 

Focos= (3, 0), (-3, 0)

Longitud de uno cualquiera de sus lados rectos= 9.

x²/a²+  y²/b²=1

C= 3                    c2 = a2 - b2   a2 - b2 = 9

|LR| = 2b²/a              9 = 2b²/a                 2(a2 – 9)

9a = 2 a2 – 18

2 a2 – 18 – 9 a = 0

b2 = a2 - c2

b2 = 36 – 9

b2 = √27

b= 3√3

2 a2 – 9 a – 18 = 0

4a² -9 (2 a)-36 = 0   (2a -12) (2a + 3) =0

                                                           2x1                                                       

                                                       (0-6) (2a +3) = 0

 a = 6    b= 3 √3       

                                    

Ec. de la elipse:

x²/a²+  y²/b²=1

x^2/36+  y^2/27=1

Ejercicio 14: Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vértices en el punto (0, -7) y pasa por el punto (√(5,)  14/3).

Datos:

Vértice punto: (0, -7)

Forma de la ecuación:   x^2/b^2 +y^3/a^2 =1

V_2 (0, -7): a=7

P (√(5,)  14/3): 5/b^2 +(196⁄9)/49=1 → b=3

V_1:   x^2/9+y^2/49=1

c^2=a^2-b^2=49-9=40

e= 2√(10⁄7)

 

Ejercicio 15: Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos (√6, -1) y (2, √2).

Datos:

Puntos (√6, -1) 

            (2, √2).

Forma de la ecuación: x^2/a^2 +y^2/b^2 =1

P_1 (√6, -1)       6/a^2 +1/b^2 =1

P_2 (2, √2)      4/a^2 +2/b^2 =1

6/a^2 +1/b^2 =1    y     4/a^2 +2/b^2 =1   →  a^2=8   

                                                                        b^2=4

x^2/a^2 +y^2/b^2 =1   →    x^2/8+y^2/4=1