Clase: Derivadas Parciales

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	29/02/2016
Docente:	Ing. Manuel Fiallos

Derivadas Parciales

Hallar la derivada parcial de: z= ax^2+2bxy+cy^2

Z está en función de (x, y)

La derivada parcial de una función está dada por la siguiente ecuación

dparc.z=dparcialz/(dparcial x) ∆x+dparcialz/dparcialy ∆y

dparcialz/dparcialx=2ax+2by+0

dparcialz/dparcialy=2bx+2cy

Ejercicios

Hallar la derivada parcial de: u=sen(ax+by+cz)

U está en función de (x, y, z)

dparcialu/dparcialx=Cos(ax+by+cz)a

 

 dparcialu/dparcialz=Cos(ax+by+cz)b

dparcialu/dparcialz=Cos(ax+by+cz)c

 
Hallar la derivada parcial de: z=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

 

Z está en función de (x, y)

dparcialz/dparcialx=2ax+by+d

dparcialz/dparcialx=2cy+bx+e

f(x,y)=  (ax+by)/(cx+dy)
 
Con x:

dparcialz/dparcialx=((cx+dy)d(ax+by)-(ax+by)d(cx+dy))/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialx=(acx+ady-acx-cby)/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialx=(y(ad-bc))/(cx+dy)^2

Con y:

dparcialz/dparcialy=((cx+dy)d(ax+by)-(ax+by)d(cx+dy))/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialy=(bcx+bdy-adx-bdy)/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialy=x(bc-ad)/cx+dy)^2

f(x,y)=(x+y)Sen(x-y)
 
Con x:

dparcialz/dparcialx=Sen(x-y)d(x+y)+(x+y)d(Sen(x-y))

 

=Sen(x-y)1+(x+y)Cos(x-y)(1)

Con y:

 dparcialz/dparcialy=Sen(x-y)+(x+y)Cos(x-y)(-1)

e=Sen2θCos3∅

e Está en función de ((θ,∅)

Con θ:

dparciale/dparcialθ=Sen2θ(dCos3∅)+Cos3∅(dSen2θ)
 

=2Cos2θCos3∅

 

Con ∅:

dparciale/(dparcial∅)=Sen2θ(dCos3∅)+Cos3∅(dSen2ϑ)
 

=-3Sen3∅Sen2θ

α=e^(-θ) Cos ∅/θ

Con θ:

dparciala/dparcialθ=e^(-θ) d((Cos∅)/θ)+(Cos∅)/θ d(e^(-θ))
 

=e^(-θ) ((-Sen∅)/θ)d(∅/θ)+(Cos∅)/θ  e^(-θ) d(-θ)

 

-e^(-θ)  (Sen∅)/θ ((-1∅)/θ)+Cosθ/∅  e^(-θ) (-1)

 

Con ∅:

dparcialα/(dparcial∅)= e^(-θ) d((Cos∅)/θ)+(Cos∅)/θ d(e^(-θ))
=e^(-θ) ((-Sen∅)/θ)(1/θ)+0

Diferencial total

Calcular ∆u y du para la función u=2x^2+3y^2 cuando x=10, y=8, ∆x=0,2,∆y=0,3

 

a)

u+∆u=2(x+∆x)^2+3(y+∆y)^2

∆u= [2(x+∆x)^2+3(y+∆y)^2 ]-u

∆u= [2x^2+4x∆x+2∆x^2+3y^2+6y∆y+3∆y^2 ]-2x^2-3y^2
 

∆u=4x∆x+2∆x^2+6y∆y+3∆y^2

∆u=4(10)(0,2)+2(0,2)^2+6(8)(0,3)+3(0,3)^2
∆u=22,75
 

b)

 

du=dparcialu/dparcialx ∆x+dparcialu/dparcialy ∆y

dparcialu/dparcialx=4x

dparcialu/dparcialy=6y

du= 4x∆x+6y∆y
 

du= 4(10)(0,2)+6(8)(0,3)

du=22,4

Clase: Ejercicios de derivar funciones crecientes, decrecientes. Ejercicios de razón de cambio.

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	26/02/2016
Docente:	Ing. Manuel Fiallos

Ejercicios en clase:
Determine si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.

y=3x+3

Al derivar la función

y=3x+3
y'=3

Determinamos que es creciente. 
¿Cómo sabemos hacia qué lado es cóncava? Esto se explica con el teorema de concavidad, sacando la 2da derivada.

y'=3
y''=0

Si es 0, quiere decir que no es cóncava.
La segunda derivada de f(x) cuando es mayor a 0, la función es cóncava hacia arriba y si f(x) es menor a 0 entonces es cóncava hacia abajo

Ejemplo:

h(t)= t^2+2t-3
h(t)=(t+3)(t-1)
h(t)= t^2+2t+1-1-3
h(t)=(t+1)^2-4


Una vez hemos simplificado la función podemos derivarla

h^' (t)=2t+2
h^''(t)=2
H’’(t) es mayor a 0, por lo tanto es cóncava hacia arriba

Ahora determinamos los puntos críticos
h^' (t)=2t+2
0=2t+2
t=-1

Decreciente (-∞,-1)

Creciente (-1,∞)


g(x)=2x^3-9x^2+12x

Primera derivada

g(x)=2x^3-9x^2+12x

g'(x)=6x^2-18x+12

Puntos críticos

0=6x^2-18x+12

                   

0=(x-2)(x-1

x=2; x=1

Creciente (-∞,1)U (2,∞)
Decreciente (1,2)

Segunda derivada

g'(x)=6x^2-18x+12

g^''(x) =12-18

 f(x)=x^3-1

 

Primera derivada

f(x)=x^3-1

                                            f'(x)=3x^2                                              

Segunda derivada

f''(x)=6x

Nota: Toda la gráfica es creciente

Utilice el teorema de concavidad para determinar en donde la función dada es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo además de los puntos de inflexión

f(x)=(x-1)^2

 

Derivamos

                                                                         f(x)=(x-1)^2

f'(x)=2x-2

Puntos críticos

0=2x-2

x=1

Creciente (1,∞)
Decreciente (-∞,1)

Segunda derivada

f'(x)=2x-2

f''(x)=2

 Es cóncava hacia arriba


T(t)= 3t^3-18t

Primera Derivada

T(t)= 3t^3-18t

T'(t)= 9t^2-18

Puntos críticos

0= 9t^2-18

t= ±√2

Creciente (-∞,-√2)  U (√2,∞)
Decreciente (-√2,√2)

Segunda derivada

T'(t)= 9t^2-18

T''(t)= 18t

Ejercicios razón de cambio

Suponga que se vierte Agua en un depósito cónico a ½  pulgada^3/s, determine la altura en función de t y dibuje h(t) desde t=0. El diámetro es de 2 pulgadas y una altura de 4 pulgadas.

Vcono=1/3 πr^2 h

                                                                Vcono=1/3 π h/4^2 h

16Vcono=1/3 πh^3

Derivamos
                                                                  16dv/dt=πh^2  dh/dt                      

Reemplazamos valores 

16(1/2)=πh^2  dh/dt

8/(πh^2 )=dh/dt

Hallar una relación entre h con el tiempo

dv/dt=(1 inch^3)/2

(1 inch^3)/2 t=Volumen

√

Despejamos

Vcono=1/3   (πh^2)/16

1/2 t=  (πh^2)/48 h

h(t)=∛(24t/π)

Primera derivada

Segunda derivada

La segunda derivada tiene signo negativo, por lo que su concavidad es hacia abajo

Clase: Razón de cambio relacionadas

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	12/02/2016
Docente:	Ing. Manuel Fiallos

Razón de cambio relacionadas

Si una variable y depende del tiempo t entonces  dy/dt  se denomina razón de cambio con respecto al tiempo.
Si y mide la distancia entonces esta razón de cambio se llama velocidad. Algunos ejemplos en ingeniería química suele ser el caudal o el flujo de masa que entra a un sistema, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, etc.

Ejercicios:
  
Se suelta un globo a 150 ft en un punto alejado un observador quien se encuentra a nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una  v=8ft/s que tan rápido aumenta la distancia del observador al globo cuando este se encuentra a 50 ft de altura.

 s=√(50^2+150^2     s^2=h^2+a^2
              
s=50√10m              2s ds/dt=2h dh/dt 
                     
                                s ds/dt=h dh/dt

50√10  ds/dt=50*8     ds/dt=0.8√10  ft/s

En un tanque cónico se vierte agua a una razón de 8 ft^3/min si la altura del tanque es de 12 ft ¿Qué tan rápido se eleva el nivel del agua cuando tiene una profundidad de 4 ft.

6/12=r/h
r=h/
V=1/3 πr^2 h
V=  1/3 π(h/2)h
V=  1/12 πh^3      

dv/dt=3/12 πh^2  dh/dt
dh/dt=(4*8)/(π(4)^2)                          dh/dt=0.63 ft/min


Un aeroplano que vuela hacia el Norte a 640 mi/h pasa sobre cierta ciudad al medio día. Un segundo aeroplano que va hacia el Este a 600 mi/h esta directamente encima de la misma ciudad 15 min más tarde. Si los aeroplanos vuelan a la misma altitud que tan rápido se están separando a la 1:15pm

x_a=640 millas/hora*1hora/(60 min)*15min
x_a=160 millas
x_b=600 millas/hora*1hora/(60 min)*15min
x_b=150 millas

s= √((y+160)^2+(x)^2)              2s ds/dt=2(y+160)dy/dt+2x dx/dt
s= √((600)^2+(640+160)^2 )     ds/dt=(800(640)+600(600))/1000
s=1000 millas                            ds/dt=872 millas/h

Clase: Derivadas de funciones trigonométricas

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	01/02/2016
Docente:	Ing. Manuel Fiallos

Derivadas de funciones trigonométricas

d/dx  sin ⁡x=cos ⁡x                     d/dx  cos ⁡x=-sin ⁡x

d/du  sin⁡  u=cos ⁡up*du             d/dx  cos ⁡u=-sin⁡ u*du


f(x)=ln cosx
f´(x)=dcos⁡x/cos⁡x=(-sin⁡x)/cos⁡x
f´(x)=tanx


d(tanx)= (d sen x)/cos⁡x =cos⁡(cos⁡ x)-sen x(-senx)/(cos^2 x) (d sen x)/cos⁡x                                 =(cos^2 x+sen^2 x)/cos⁡x =1/(cos^2 x)


g(x)= ln (sen x^2)
=(cos⁡x^2*2x )/sen x^2 =2x cot⁡x^2


b(x)=√(ln⁡cos⁡(x+2)^2)
=(-sen (x+2)^2*2(x+2))/(cos⁡(x+2)^2/√(ln⁡cos⁡(x+2)^2))=(-tan⁡(x+2)^2 (x+2))/√(ln⁡cos⁡(x+2)^2)


f(x)=a^x
y=a^x
ln⁡y=x ln⁡a
d (ln)⁡ (y)= d (x ln⁡a)
dy/y=ln⁡a
dy=y ln⁡a

f(x)=e^2x
f´x=d e^2x  ln⁡e
f´x=2e^2x


h(x)=e^2x
h´(x)=de^(x^2)  ln⁡e
h´(x)=2xe^(x^2)


f(x)=e^(2lnx)        e^ln⁡ x^2
e^(lnx^2)= x^2
f(x)=d(x)^2
f´(x)=2x


h(x)= e^(x+x^2)
h´(x)=e^x*e^(x^2)
h´(x)=e^x*de^(x^2)+e^(x^2)*de^x
h´(x)=e^x*2xe^(x^2)+e^(x^2)*e^x
h´(x)=e^(x^2+x) (2x+1)

f(x)=x^n
f´(x)=nx^(n-1)


f(x)=a^x
f´(x)=a^x lna


f(x)=u^v
y=u^v
d(lny)=d(vlnu)
d(lny)=v d(lnu)+ln⁡u  d(v)


dy/d=(v*du )/u+lnu dv
dy=y[v/u d u+ln⁡u*dv]


f´(x)=(sen x)^(x^2 )
u=sen x
du=cos⁡x
v=x^2
dv=2x
d (senx)^(x^2)=(senx)^(x^2)[x^2/(sen x)*cos⁡ x+ln⁡(senx)*2x]
d(senx)^(x^2)=sen x^2[x^2 cotgx+2xln(senx)]


y=3x^2+4x+5
y´=6x+4
y´´=d 6x=6

Clase: Máximos y Mínimos

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	15/02/2016
Docente:	Ing. Manuel Fiallos

Máximos y mínimos

Identifique los puntos críticos y encuentran los valores máximos y mínimos en el intervalo dado:

f(x)=x^2+4x+4 
En el intervalo [-4,0]
f^'(X)=(x+2)^2

x	y
0	4
1	9
-1	1
-2	0

f^'(x)=d[(x+2)]^2
f^'(x)=2(x+2)
f^'(x)=0
0=2(x+2)
x=-2

Decreciente (-∞,-1)
Creciente (-1,∞)


 f(x)=|3s-2|

f^'(x)=d√((3s-2)^2)

f^'(x)=(3s-2)3/(2√((3s-2)))

0=3(3s-1)

Creciente (2/3,∞)
Decreciente (-∞,2/3)

y(x)=x^2+3x
Y^' (x)=2x
0=2x
x=0

h(t)=t^(5/3)/(2+t)      I[-1,8]

h(t)=5t^(1/3)/(2+t)

h^' (t)=(5(2+t) t^(2/3)-3t^(5/3))/(3(2+t)^2 )

h^' (t)=(2t^(2/3) (5+T))/(3(2+t)^2 )

(-∞,-5)↓     (-2,0)↓

(-5,-2)↑     (0,∞)↑