Clase: Derivadas Parciales

Universidad de Guayaquil Facultad de Ingeniería Química Carrera de Ingeniería Química
Nombre:	María Fernanda Díaz
Asignatura:	Matemáticas 1
Paralelo:	1er semestre B
Fecha:	29/02/2016
Docente:	Ing. Manuel Fiallos

Derivadas Parciales

Hallar la derivada parcial de: z= ax^2+2bxy+cy^2

Z está en función de (x, y)

La derivada parcial de una función está dada por la siguiente ecuación

dparc.z=dparcialz/(dparcial x) ∆x+dparcialz/dparcialy ∆y

dparcialz/dparcialx=2ax+2by+0

dparcialz/dparcialy=2bx+2cy

Ejercicios

Hallar la derivada parcial de: u=sen(ax+by+cz)

U está en función de (x, y, z)

dparcialu/dparcialx=Cos(ax+by+cz)a

 

 dparcialu/dparcialz=Cos(ax+by+cz)b

dparcialu/dparcialz=Cos(ax+by+cz)c

 
Hallar la derivada parcial de: z=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

 

Z está en función de (x, y)

dparcialz/dparcialx=2ax+by+d

dparcialz/dparcialx=2cy+bx+e

f(x,y)=  (ax+by)/(cx+dy)
 
Con x:

dparcialz/dparcialx=((cx+dy)d(ax+by)-(ax+by)d(cx+dy))/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialx=(acx+ady-acx-cby)/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialx=(y(ad-bc))/(cx+dy)^2

Con y:

dparcialz/dparcialy=((cx+dy)d(ax+by)-(ax+by)d(cx+dy))/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialy=(bcx+bdy-adx-bdy)/(cx+dy)^2

dparcialz/dparcialy=x(bc-ad)/cx+dy)^2

f(x,y)=(x+y)Sen(x-y)
 
Con x:

dparcialz/dparcialx=Sen(x-y)d(x+y)+(x+y)d(Sen(x-y))

 

=Sen(x-y)1+(x+y)Cos(x-y)(1)

Con y:

 dparcialz/dparcialy=Sen(x-y)+(x+y)Cos(x-y)(-1)

e=Sen2θCos3∅

e Está en función de ((θ,∅)

Con θ:

dparciale/dparcialθ=Sen2θ(dCos3∅)+Cos3∅(dSen2θ)
 

=2Cos2θCos3∅

 

Con ∅:

dparciale/(dparcial∅)=Sen2θ(dCos3∅)+Cos3∅(dSen2ϑ)
 

=-3Sen3∅Sen2θ

α=e^(-θ) Cos ∅/θ

Con θ:

dparciala/dparcialθ=e^(-θ) d((Cos∅)/θ)+(Cos∅)/θ d(e^(-θ))
 

=e^(-θ) ((-Sen∅)/θ)d(∅/θ)+(Cos∅)/θ  e^(-θ) d(-θ)

 

-e^(-θ)  (Sen∅)/θ ((-1∅)/θ)+Cosθ/∅  e^(-θ) (-1)

 

Con ∅:

dparcialα/(dparcial∅)= e^(-θ) d((Cos∅)/θ)+(Cos∅)/θ d(e^(-θ))
=e^(-θ) ((-Sen∅)/θ)(1/θ)+0

Diferencial total

Calcular ∆u y du para la función u=2x^2+3y^2 cuando x=10, y=8, ∆x=0,2,∆y=0,3

 

a)

u+∆u=2(x+∆x)^2+3(y+∆y)^2

∆u= [2(x+∆x)^2+3(y+∆y)^2 ]-u

∆u= [2x^2+4x∆x+2∆x^2+3y^2+6y∆y+3∆y^2 ]-2x^2-3y^2
 

∆u=4x∆x+2∆x^2+6y∆y+3∆y^2

∆u=4(10)(0,2)+2(0,2)^2+6(8)(0,3)+3(0,3)^2
∆u=22,75
 

b)

 

du=dparcialu/dparcialx ∆x+dparcialu/dparcialy ∆y

dparcialu/dparcialx=4x

dparcialu/dparcialy=6y

du= 4x∆x+6y∆y
 

du= 4(10)(0,2)+6(8)(0,3)

du=22,4